Решебник Рябушко
ИДЗ 8.3, задание 3, вариант 15
$$\int{\frac{ln{x}ln(ln{x})}{x}dx}=\int{ln{x}ln(ln{x})d(ln{x})}$$ Обозначим \(y=ln{x}\) $$\int{ln{x}ln(ln{x})d(ln{x})}=\int{ylnydy}$$ Воспользуемся интегрированием по частям $$\int{ylnydy}=\begin{array}{|cc|}u=lny&du=\frac{dy}{y}\\dv=ydy&v=\frac{y^2}{2}\end{array}=\frac{y^2ln{y}}{2}-\int{\frac{y^2}{2}\frac{dy}{y}}=\frac{y^2ln{y}}{2}-\frac{1}{2}\int{ydy}=$$ $$=\frac{y^2ln{y}}{2}-\frac{1}{2}\frac{y^2}{2}+C=\frac{y^2ln{y}}{2}-\frac{y^2}{4}+C$$ Вернемся к переменной \(x\) $$\frac{y^2ln{y}}{2}-\frac{y^2}{4}+C=\frac{(ln{x})^2ln(ln{x})}{2}-\frac{(ln{x})^2}{4}+C$$