Решебник Рябушко
ИДЗ 8.3, задание 2, вариант 18
$$\int{\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2+x+1}}}$$ Введем новую переменную \(y=\frac{1}{x-1}\). Тогда \(x-1=\frac{1}{y}\), \(x=\frac{1}{y}+1\), \(dx=-\frac{1}{y^2}dy\) $$\int{\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2+x+1}}}=\int{\frac{-\frac{1}{y^2}dy}{\frac{1}{y}\sqrt{(\frac{1}{y}+1)^2+(\frac{1}{y}+1)+1}}}=-\int{\frac{ydy}{y^2\sqrt{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{y}+1+\frac{1}{y}+1+1}}}=$$ $$=-\int{\frac{dy}{y\sqrt{\frac{1}{y^2}+3\frac{1}{y}+3}}}=-\int{\frac{dy}{\sqrt{1+3y+3y^2}}}=-\int{\frac{dy}{\sqrt{3y^2+3y+1}}}=$$ $$=-\int{\frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{3}y)^2+2*\sqrt{3}y*\frac{3}{2\sqrt{3}}+(\frac{3}{2\sqrt{3}})^2-(\frac{3}{2\sqrt{3}})^2+1}}}=$$ $$=-\int{\frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}})^2-\frac{9}{12}+1}}}=-\int{\frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}})^2-\frac{3}{4}+1}}}=$$ $$=-\int{\frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}})^2+\frac{1}{4}}}}$$ Введем новую переменную \(z=\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}}\), \(y=\frac{1}{\sqrt{3}}(z-\frac{3}{2\sqrt{3}})=\frac{1}{\sqrt{3}}z-\frac{1}{2}\), \(dy=\frac{1}{\sqrt{3}}dz\) $$-\int{\frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}})^2+\frac{1}{4}}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\int{\frac{dz}{\sqrt{z^2+\frac{1}{4}}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|z+\sqrt{z^2+\frac{1}{4}}|+C$$ Вернемся к обозначениям с переменной \(y\) $$-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|z+\sqrt{z^2+\frac{1}{4}}|+C=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{(\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}})^2+\frac{1}{4}}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3y^2+2\sqrt{3}\frac{3}{2\sqrt{3}}y+(\frac{3}{2\sqrt{3}})^2+\frac{1}{4}}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3y^2+3y+\frac{9}{12}+\frac{1}{4}}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3y^2+3y+1}|+C$$ Вернемся к обозначениям с переменной \(x\) $$-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}y+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3y^2+3y+1}|+C=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3(\frac{1}{x-1})^2+3\frac{1}{x-1}+1}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{\sqrt{3}}{x-1}+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3(\frac{1}{x-1})^2+\frac{3(x-1)}{(x-1)^2}+\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2}}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{\sqrt{3}}{x-1}+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{3+3(x-1)+(x-1)^2}{(x-1)^2}}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{\sqrt{3}}{x-1}+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3+3(x-1)+(x-1)^2}}{x-1}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{\sqrt{3}}{x-1}+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3+3x-3+x^2-2x+1}}{x-1}|+C=$$ $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{\sqrt{3}}{x-1}+\frac{3}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1}|+C=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\sqrt{3}(\frac{1}{x-1}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{3}(x-1)})|+C=$$ Воспользуемся свойством логарифма - "логарифм произведения есть сумма логарифмов" $$=-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{3}(x-1)}|-\frac{1}{\sqrt{3}}ln\sqrt{3}+C=$$ Константа вычесть второй член с логарифмом все равно будет константа (пусть и с другим значением). Поэтому второй член можно не учитывать. Следовательно, ответ будет $$C-\frac{1}{\sqrt{3}}ln|\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{3}(x-1)}|$$