Решебник Рябушко
ИДЗ 8.3, задание 1, вариант 18
$$\int{\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^2}dx}$$ Обозначим \(x=\frac{3}{cos{t}}\). Тогда \(dx=-\frac{3(cos{t})'}{cos^2{t}}dt=\frac{3sin{t}}{cos^2{t}}dt\) $$\int{\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^2}dx}=\int{\frac{\sqrt{\frac{9}{cos^2{t}}-9}}{\frac{9}{cos^2{t}}}*\frac{3sin{t}}{cos^2{t}}}dt=\int{\frac{3sin{t}cos^2{t}\sqrt{\frac{9-9cos^2{t}}{cos^2{t}}}}{9cos^2{t}}dt}=-\int{\frac{sin{t}\sqrt{\frac{9(1-cos^2{t})}{cos^2{t}}}}{3}dt}=$$ $$=\int{\frac{3sin{t}\sqrt{\frac{1-cos^2{t}}{cos^2{t}}}}{3}dt}=\int{sin{t}\sqrt{\frac{sin^2{t}}{cos^2{t}}}dt}=\int{sin{t}\sqrt{tg^2{t}}dt}=\int{sin{t}*tg{t}dt}=$$ $$=\int{\frac{sin^2{t}}{cos{t}}dt}=\int{\frac{1-cos^2{t}}{cos{t}}dt}=\int{\frac{1}{cos{t}}dt}-\int{cos{t}dt}=\int{\frac{1}{cos{t}}dt}-sin{t}$$ $$=\int{\frac{cos{t}}{cos^2{t}}dt}-sin{t}=\int{\frac{cos{t}}{1-sin^2{t}}dt}-sin{t}$$ Обозначим \(y=sin{t},dy=cos{t}dt\) $$\int{\frac{cos{t}}{1-sin^2{t}}dt}-sin{t}=\int{\frac{dy}{1-y^2}}-sin{t}=\int{\frac{dy}{(1-y)(1+y)}}-sin{t}$$ Найдем первый интеграл, разложив его на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов $$\int{\frac{dy}{(1-y)(1+y)}}=\int{\frac{Ady}{1-y}}+\int{\frac{Bdy}{1+y}}$$ Найдем коэффициенты A и B c помощью метода неопределенных коэффициентов $$\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}=\frac{A(1+y)+B(1-y)}{(1-y)(1+y)}=\frac{A+Ay+B-By}{(1-y)(1+y)}=\frac{y(A-B)+(A+B)}{(1-y)(1+y)}$$ Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях, и получаем, что $$A-B=0;A=B$$ $$A+B=1,2B=1,B=\frac{1}{2},A=B=\frac{1}{2}$$ Получаем интеграл $$\int{\frac{dy}{(1-y)(1+y)}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dy}{1-y}}+\frac{1}{2}\int{\frac{dy}{1+y}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{d(1-y)}{1-y}}+\frac{1}{2}\int{\frac{d(1+y)}{1+y}}=$$ $$=\frac{1}{2}ln|1+y|-\frac{1}{2}ln|1-y|+C=\frac{1}{2}ln|\frac{1+y}{1-y}|+C$$ Возвращаемся к обозначениям с переменной \(t\) $$\frac{1}{2}ln|\frac{1+y}{1-y}|+C=\frac{1}{2}ln|\frac{1+sin{t}}{1-sin{t}}|+C$$ Возвращаемся к первоначальному интегралу $$\int{\frac{cos{t}}{1-sin^2{t}}dt}-sin{t}=\frac{1}{2}ln|\frac{1+sin{t}}{1-sin{t}}|-sin{t}+C$$ Возвращаемся к обозначениям с переменной \(x\). Выразим \(sin{t}\) через переменную \(x\): $$x=\frac{3}{cos{t}}$$ $$cos{t}=\frac{3}{x}$$ $$cos^2{t}=\frac{9}{x^2}$$ $$1-sin^2{t}=\frac{9}{x^2}$$ $$-sin^2{t}=\frac{9}{x^2}-1$$ $$-sin^2{t}=\frac{9-x^2}{x^2}$$ $$sin^2{t}=\frac{x^2-9}{x^2}$$ $$sin{t}=\sqrt{\frac{x^2-9}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}$$ Подставим это обозначение в полученный результат $$\frac{1}{2}ln|\frac{1+sin{t}}{1-sin{t}}|-sin{t}+C=\frac{1}{2}ln|\frac{1+\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}}{1-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}}|-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}+C=$$ $$=\frac{1}{2}ln|\frac{\frac{x+\sqrt{x^2-9}}{x}}{\frac{x-\sqrt{x^2-9}}{x}}|-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}+C=\frac{1}{2}ln|\frac{x+\sqrt{x^2-9}}{x-\sqrt{x^2-9}}|-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}+C$$ Так как выражение, из которого вычисляется логарифм стоит под модулем, мы можем изменить его знак (поменяв порядок членов в знаменателе), и ничего не изменится. $$\frac{1}{2}ln|\frac{x+\sqrt{x^2-9}}{x-\sqrt{x^2-9}}|-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}+C=\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{x^2-9}+x}{\sqrt{x^2-9}-x}|-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}+C$$