Решебник Рябушко
ИДЗ 8.3, задание 1, вариант 15
$$\int{x^3\sqrt{9-x^2}dx}=\frac{1}{2}\int{2x*x^2\sqrt{9-x^2}dx}=\frac{1}{2}\int{x^2\sqrt{9-x^2}d(x^2)}$$ Обозначим \(y=x^2\). Тогда $$\frac{1}{2}\int{x^2\sqrt{9-x^2}d(x^2)}=\frac{1}{2}\int{y\sqrt{9-y}dy}$$ Обозначим \(z=9-y\). Тогда \(y=9-z\), а \(dy=-dz\) $$\frac{1}{2}\int{y\sqrt{9-y}dy}=-\frac{1}{2}\int{(9-z)\sqrt{z}dz}=-\frac{1}{2}\int{9\sqrt{z}dz}+\frac{1}{2}\int{z\sqrt{z}dz}=-\frac{9}{2}\int{z^{\frac{1}{2}}dz}+\frac{1}{2}\int{z^{\frac{3}{2}}dz}=$$ $$=-\frac{9}{2}\frac{z^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}*\frac{z^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+C=-\frac{9}{2}*\frac{2}{3}*z^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}*\frac{2}{5}*z^{\frac{5}{2}}+C=-3z^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}z^{\frac{5}{2}}+C=$$ $$=-3\sqrt{z^3}+\frac{1}{5}\sqrt{z^5}+C$$ Вернемся к обозначениям с переменной \(y\) и поменяем слагаемые местами $$-3\sqrt{z^3}+\frac{1}{5}\sqrt{z^5}+C=\frac{1}{5}\sqrt{(9-y)^5}-3\sqrt{(9-y)^3}+C$$ Вернемся к обозначениям с переменной \(x\) $$\frac{1}{5}\sqrt{(9-y)^5}-3\sqrt{(9-y)^3}+C=\frac{1}{5}\sqrt{(9-x^2)^5}-3\sqrt{(9-x^2)^3}+C$$