Решебник Рябушко
ИДЗ 5.1, задание 1, вариант 8
$$\lim_{x\to-1}\frac{x^2-4x-5}{x^2-2x-3}$$ Видно, что если просто подставить \(x=-1\) в числитель и знаменатель, то мы получим ноль и там, и там $$(-1)^2-4*(-1)-5=1+4-5=0$$ $$(-1)^2-2*(-1)-3=1+2-3=0$$ Следовательно число \(x=-1}\) является корнем многочленов и в числителе, и в знаменателе. Решим два квадратных уравнения и покажем это. $$x^2-4x-5=0$$ $$D=b^2-4ac=16-4*1*(-5)=36$$ $$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-6}{2}=-1$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+6}{2}=5$$ То есть, можно записать, что $$x^2-4x-5=(x+1)(x-5)$$ Решим второе квадратное уравнение $$x^2-2x-3=0$$ $$D=b^2-4ac=4-4*1*(-3)=16$$ $$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+4}{2}=3$$ То есть, можно записать, что $$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$ Возвращаемся к первоначальному примеру $$\lim_{x\to-1}\frac{x^2-4x-5}{x^2-2x-3}=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x-5)}{(x+1)(x-3)}=\lim_{x\to-1}\frac{x-5}{x-3}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$$