Решебник Рябушко
ИДЗ 5.1, задание 1, вариант 7
$$\lim_{x\to\frac{1}{3}}\frac{3x^2+2x-1}{27x^3-1}$$ Видно, что если просто подставить \(x=\frac{1}{3}\) в числитель и знаменатель, то мы получим ноль и там, и там $$3*(\frac{1}{3})^2+2*\frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-1=0$$ $$27*(\frac{1}{3})^3-1=27*\frac{1}{27}-1=0$$ Следовательно число \(x=\frac{1}{3}\) является корнем многочленов и в числителе, и в знаменателе. В знаменателе это достаточно просто увидеть - это просто разность кубов, в числителе чуть сложнее. Просто решим квадратное уравнение. $$3x^2+2x-1=0$$ $$D=b^2-4ac=4-4*3*(-1)=16$$ $$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-4}{6}=-1$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}$$ То есть, можно записать, что $$3x^2+2x-1=3(x+1)(x-\frac{1}{3})=(x+1)(3x-1)$$ Возвращаемся к первоначальному примеру $$\lim_{x\to\frac{1}{3}}\frac{3x^2+2x-1}{27x^3-1}=\lim_{x\to\frac{1}{3}}\frac{(x+1)(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}=\lim_{x\to\frac{1}{3}}\frac{x+1}{9x^2+3x+1}=\frac{\frac{1}{3}+1}{9*(\frac{1}{3})^2+3*\frac{1}{3}+1}=$$ $$=\frac{\frac{4}{3}}{1+1+1}=\frac{4}{9}$$