Решебник Рябушко
ИДЗ 4.1, задание 1, вариант 1
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
По условию задачи меньшая полуось \(b=15, c=-10\).
Для эллипса выполняется равенство
$$a^2=b^2+c^2=15^2+(-10)^2=225+100=325$$
Следовательно уравнение имеет вид
$$\frac{x^2}{325}+\frac{y^2}{225}=1$$
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
По условию задачи \(a=13\). Значение \(b\) найдем из
формулы для эксцентриститета
$$\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$$
$$\frac{14}{13}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$$
$$\frac{196}{169}=1+\frac{b^2}{a^2}$$
$$\frac{b^2}{a^2}=\frac{27}{169}$$
$$\frac{b^2}{169}=\frac{27}{169}$$
$$b^2=27$$
Следовательно уравнение имеет вид
$$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{27}=1$$
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае
должно иметь вид \(y^2=2px\), а уравнение ее директрисы
\(x=-\frac{p}{2}\). Но по условию задачи уравнение
директрисы \(x=-4\). Поэтому
$$-\frac{p}{2}=-4$$
$$p=8$$
И, искомое каноническое уравнение параболы имеет вид
$$y^2=16x$$