Решебник Рябушко
ИДЗ 11.1, задание 1, вариант 4
В задании в учебнике опечатка - там два раза указан \(dy\), хотя очевидно, что один из них должен быть \(dx\). Чтобы ответ сошелся с тем, что дан в учебнике нужно заменить первый \(dy\) на \(dx\). $$sec^2{x}tgydx+sec^2{y}tgxdy=0$$ Поделим обе части на \(tg{x}tg{y}\) $$\frac{sec^2{x}dx}{tg{x}}=-\frac{sec^2{y}dy}{tg{y}}$$ $$\frac{\frac{1}{cos^2{x}}dx}{tg{x}}=-\frac{\frac{1}{cos^2{y}}dy}{tg{y}}$$ В принципе здесь можно разложить тангенс на синус и косинус, сократить что-то, и продолжать в таком же духе, но на самом деле интеграл можно найти уже в этом виде. Проинтегрируем обе части. Интегралы абсолютно одинаковы, за исключением того, что разные переменные, и справа нужно будет поставить перед результатом минус. Найдем интеграл для \(y\) $$\int{\frac{\frac{1}{cos^2{y}}dy}{tg{y}}}=\int{\frac{d(tg{y})}{tg{y}}}=ln(tg{y})$$ То есть, получаем, что $$ln(tg{x})=-ln(tg{y})-C$$ Так как константа может принимать любое значение, заменим ее на логарифм константы. $$ln(tg{x})=-ln(tg{y})-lnC$$ По правилам сложения логарифмов получаем $$ln(tg{x})+ln(tg{y})+lnC=0$$ $$ln(tg{x}tg{y}C)=0$$ $$tg{x}tg{y}C=1$$ $$tg{x}tg{y}=\frac{1}{C}$$ Единица, деленная на константу тоже будет константой. Поэтому для упрощения выражения просто заменим ее на константу. $$tg{x}tg{y}=C$$